ASPECTOS MATEMATICOS DE LA GRAFICACION
Un fractal es un ente geométrico el cual en su
desarrollo espacial se va reproduciendo
a si mismo cada vez a una escala menor. Una
característica esencial de los fractales
consiste en que si observamos digamos, con una
lupa, una parte cualquiera del mismo,
ésta reproduce a escala menor la figura total del
fractal
Un fractal exhibe recursividad, o autisimilitud, a
cualquier escala. En otras palabras, si enfocamos una porción cualquiera de un
objeto fractal se notará que tal sección resulta ser una réplica a menor escala
de la figura principal.
Otro aspecto importante sobre los fractales es que
su dimensión es fraccionaria. osea en ves de que de ser unidimesnional,
bidimensional o tridimensional, la dimensiónal en la mayoría de los fractales no
se ajusta a conceptos tradicionales.
Probablemente, el primer objeto fractal puro en la
historia, el polvo de Cantor, fue descrito por el matématico alemán Georg
Cantor-inventor de la teoría de los conjuntos alrededor de 1872.
Aspectos matemáticos
Intentos
de definición rigurosa
El concepto de fractal no dispone en el año 2008 de
una definición matemática precisa y de aceptación general. Intentos parciales
de dar una definición fueron realizados por:
·
B.
Mandelbrot, que en 1982 definió fractal como un conjunto cuya dimensión
de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su dimensión
topológica. Él mismo reconoció que su definición no era lo suficientemente
general.
·
D.
Sullivan, que definió matemáticamente una de las categorías de fractales con su
definición de conjunto cuasiautosimilar que hacía uso del concepto de
cuasi-isometría.
Dimensión
fractal
Puede definirse en términos del mínimo número
de bolas de
radio
necesarias
para recubrir el conjunto, como el límite:
de bolas de
radionecesarias
para recubrir el conjunto, como el límite:
O en función del recuento del número de cajas
de una cuadrícula
de anchura
que intersecan al
conjunto:
de una cuadrícula
de anchuraque intersecan al
conjunto:
Se demuestra que ambas definiciones son
equivalentes, y que son invariantes bajo isometrías.
Dimensión
deHausdorff-Besicovitch
De una definición más compleja, la dimensión
de Hausdorff-Besicovitch nos proporciona un número
, también invariante
bajo isometrías, cuya relación con la dimensión fractal
, también invariante
bajo isometrías, cuya relación con la dimensión fractal
es la siguiente:
Esto permite distinguir en algunos casos entre
conjuntos con la misma dimensión fractal.
Dimensión de fractales producidos por un IFS
Un sistema iterativo de funciones (IFS)
es un conjunto de funciones contractivas definidas sobre un
subconjunto de
. Cuando no hay
solapamiento entre las imágenes de cada función, se demuestra que
y que ambas pueden calcularse como
solución de la ecuación:
. Cuando no hay
solapamiento entre las imágenes de cada función, se demuestra quey que ambas pueden calcularse como
solución de la ecuación:
Donde ci designa el factor de contracción de
cada aplicación contractiva del IFS.
Aplicaciones
Se han
utilizado técnicas de fractales en la compresión
de datos y en diversas
disciplinas científicas.
bibliografia
http://es.wikipedia.org/wiki/Fractal#Aspectos_matem.C3.A1tico
http://graficaciondanielnavarroleanos.blogspot.mx/2012/02/aspectos-matematicos-de-la-graficacion.html
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